���Ǻ� Ȯ���� ��밪 Ȯ���� � �õ����� �Ͼ ���� ���ϴ� ���� �ƴ϶� ���� �ð��� �ΰ� ���� �Ǵ� ����� �ǹ̸� ���´ٰ� ���� �� �ִ�. ���� � ���ӿ��� n���� ��� �� ���� �� �ְ�, ������ ��� �� �Ͼ Ȯ���� ������ ���
�� ���� ���� (��� �Ǵ� ���� ��)�� ���ϸ�, �� ������ �� �� ����� �� �ִ����ݾ� E�� ���� ����Ѵ�. �̰��� �� E�� �츮�� �� ��������밪 (expectation of the game ) �̶�� �Ѵ�. ���� 1.10,000 ���� � TV ��ǰ��ȸ�� ���������� ���� �Ͽ���. �� ��, TV ��ǰ��ȸ�� ��÷�ڴ� 1 ���̰�, ��ǰ���δ� 20 ���� ����� TV�� �شٰ� �ϸ�, ���� ����� �� �ִ� ��밪�� ���ΰ� �˾ƺ��ÿ�. (��, ���������� ���� 200���̶�� ����.) Ǯ��. ���� ��÷�� Ȯ���� �̰�, ����� 200,000 ��, �� ���� ��÷�ȵ� Ȯ���� �̰�, ����� 200�� �̹Ƿ�, ��밪 E�� ����, ��밪�� �����̹Ƿ� ���ڿ��� ���ذ� ����Ǵ� �����̶�� �� �� �ִ�. ? ������ The Gane of Mastermind��� �Ҹ��� �����̴�. ���� 2. ���� �ٸ� ���� ĥ�Ͽ��� ���� 7 �� �߿��� 6 ���� ��� 6 ���� hole�� ���� �� ���� �ȾҴ�. �� ��, ���븦 ��� ���� �� �ٽ� ���� 7 �� �߿��� 6 ���� ���븦 ���Ƿ� ��� �ٽ� hole�� ���� ��, ó���� ���� ���� ���� ��� ���� hole�� ��� ������ ���ΰ� �˾ƺ��ÿ�. Ǯ��.i = 0, ..., 6 �� ���Ͽ� ��� �� ���� ( 6 - i ) ���� ��ġ�ϴ� ����̶�� �ϸ�, ������ i �� ���Ͽ� ���� ��찡 �����ϴ�. ( �̰��� i ���� Ʋ����match�Ǵ� ����� ���� �ǹ� �Ѵ�.) ���� ������ (6-i)���� ��ġ�ϹǷ� (��, �� �����̹Ƿ�) ���� ��ġ �ϴ� hole�� ������ ��밪 E �� �� �� ������ �ذ��� ������ ���� ������ ���� ����� �ִ�. �� ���� hole�� ������ �θ�, ó���� ���� ���� ������ ��ġ�� Ȯ���� �̰�, ��ġ���� ���� Ȯ���� �̴�. ���� ��밪�� ���� ��� 6 ���� hole�� �����Ƿ� ��ü�� ����� �� �ִ� hole �� ��밪�� �̴�. ? ���� Ǯ�̸� ����, � �ǹ̿����� Ȯ������ ��밪�� �� ���� �������� �ǹ̸� ���´ٰ� �ؼ��� �� �ִ�. ���� 1. ���� �� �� ����� �ִ�. ���� 6���� ������ ���� �ְ�,���� 5���� ������ ���� �ִ�. �� ��, �� ����� ������ ��� ������ ��, ���� ���� ������ �ո��� ���� ���� ���� ������ �ո��� ������ �� ���� Ȯ���� ���Ͻÿ�. ���� 2. (The St. Petersburg Paradox) �� ��� A, B�� ������ ���� �ո��� ������ �̱�� ������ �Ѵ�. �� ��, n ��° toss���� �ո��� ������A�� B���� 2n ������ �ֱ�� �Ѵ�. ���� B�� A���� �� �����Ͽ��� �� ������ ������ ���� �����Ͽ� ���ÿ�. (������
�� ���ҵǴ� ����� �Ͼ Ȯ�������� 2-1, 2-2, 2-3�� �̹Ƿ�, B�� ����� �� �ִ� ������ �����ϴٰ� �� �� �ִ�. ��, ����, �̰��� B�� A���� ���Ѵ��� �ݾ�(?)�� ���� �Ͽ��� �� ������ �����ϴٴ� �ǹ��ΰ��� �����Ͽ� ���ÿ�.) ���� ���Ǻ�Ȯ���� ���Ͽ� �˾ƺ����� �սô�. �� ������ ���Ի� n�� �߿��� ���ڰ�nB ��, ���ڰ�(n-nB)�� �ְ�, ���Ի� �߿��� �Ȱ��� �� ����� nA�� �ִٰ� ����. �� ������ ���Ի� �߿��� �� ���� ���Ƿ� ���� ��, �Ȱ��� �� ����� ���� ����� A, ���ڰ� ���� ����� B �� �ϸ� �� ���迡�� A�� B�� Ȯ���� ���� (1) �� �־�����. ����, ���Ի� �߿��� �����̸� �Ȱ��� �� ����� ���ڸ� �� ��Ÿ����, �̿� ���� ���迡�� �����̸�, �Ȱ��� �� ����� ���� ��� �� �Ͼ Ȯ���� (2) �� �־�����. ���� ���Ի� ���� �Ϻ��� ���� ���Ի� �߿��� �� ���� �����ϰ� ���ϴ� ��츦 ������ ����. �� ������ �Ȱ��� �� ����� ���� ��� A�� "Ȯ��"�� ���� �����ϴ�. ��, �� ��쿡�� ���� ��� ��ü�� ������ B�� ���ѵ����ν� ��� A�� "Ȯ��" �� �� (1)�� �� �־�����. ����, �� ��쿡�� ���� ��� ��ü�� ������ B�� �� Ȯ���� �ϱ� ���Ͽ� ��� A�� "Ȯ��"�� ��� ���ο� ��ȣ�� ��Ÿ����, �̸�"��� B�� �־��� ��쿡 ��� A�� Ȯ��"�̶� �θ���. ��, �̿� ���� B�� ������ �ϴ� ���迡�� ��� A�� Ȯ���� ������ ���� �־�����. (3) �� �����Ѵ�. �̻� �˾ƺ� �ٿ� ����, �־��� ǥ������ S�� �Ϻ��� �� ��� B�� ������ �ϴ����Ǻ� ������ ������ �� �ִ�. �� �� ������ �� �ִ� Ȯ���� ������ �Ϲ����� ���� ������, ���� ��� B�� ������ �ϴ� ���� �ٸ� ���̴�. �Ϲ�������, ��� B�� �־��� ���, ��� A�� ���Ǻ� Ȯ�� (conditional probability)�� �� �����Ѵ�. �̿� ���� ���ǵ� ���Ǻ� Ȯ���� ������ �������κ��� ��� B�� ���ο� ǥ���������� ��ҽ�Ų ���迡���� Ȯ���� ���Ѵ�.Ư��, ������ ������ ��Ȯ�� ������ ��쿡�� �� (3) �� ���� ���Ǻ� Ȯ���� ����� �� �ִ�. ���� 3. ���� ���� b ��, �� ���� w��, ���� ���� r�� ��� �ִ� ���ڿ��� k ���� ���� ���ÿ� �����Ѵٰ� ����. ����, �������� k���� �� �߿��� j ���� ���� ���� ���� �� ��, ������ k-j �� �߿��� i ���� �� ���� Ȯ���� ���Ͽ� ���ÿ�. Ǯ��. ��������� k���� �� �߿��� j���� ���� ���� ����� B, i���� �� ���� ����� A��� ����. ��� B�� �־��� ��쿡�� ��������� k ���߿��� j ���� ���� ���� ������ (k-j)���� ���� b���� ���� ���� w���� �� ���� ��� �ִ� ���ڿ��� ���� ���� �ϴ� ������ ������ �� �ִ�. ����, ���ϴ� Ȯ����
�� �־�����. ������, ���ǿ� ���� ���Ǻ� Ȯ�� P(A|B) �� ���Ͽ� ���� �̿� ���� ���� ���� �� �ִ�. ������ ���� ���Ǻ� Ȯ���� ������ �� ������ ������ ���, �� ǥ�������� ǥ���� �����ؾ� �ϴ� ��츦 �����ش�. ���� 4. ���� �� ���� ������ �� ����� ���� �������� ���ϰ�, �� ���� �߿��� �ϳ��� �ո����� �˾��� ��, �ٸ� �ϳ��� ������ �ո����� ��Ÿ���� ���Ǻ� Ȯ���� ���Ͽ� ����. ������ �ո�� ���� ���� H,T�� ��Ÿ���� �� ��쿡 ǥ������ �� = {HH, HT, TH, TT} �� ��Ÿ�� �� �ְ�, �� ����� Ȯ���� 1/4�� �־�����. ���� �� ���� �߿��� �ϳ��� �ո����� ��Ÿ���� ����� A = { HH, HT, TH } �� �־�����, �� ���� ��ΰ� �ո����� ��Ÿ���� ����� B = { HH } �� �־�����. ����, ���ϴ� ���Ǻ� Ȯ����
�� �־�����. ��������, ���� �� ���� ������ �� ����� ��� �������� ���ϰ� �� ���� �߿��� �ϳ����� �� �� �ִٰ� ����. �� ��, ������ ������ �ո����� ��Ÿ���� �� �ٸ� �ϳ��� ������ �ո��� Ȯ���� ���Ͽ� ����. �� ��쿡�� ��� ������ ���õǾ� ���� �Ǵ� �������� ��Ȯ�� �Ͽ� ǥ�������� ������ �ʿ䰡 �ִ�. �����Ǵ� ������ ù ��°�� ���� �� ��°�� ��츦 ���� 1,2 �� ��Ÿ����, ǥ�������� (*) ��= {HH1, HH2, HT1, HT2, TH1, TH2, TT1, TT2} �� ��Ÿ�� �� �ִ�. ����� HT1�� ������ ��Ÿ�� ����� HT �̰� ������ ���� ù ��° �������� ��Ÿ����. ����, ����� �� ����� Ȯ���� 1/8�� �־�����. �� (*)�� ���� ǥ�������� ��Ÿ����, ������ ������ �ո��� ����� C = {HH1, HH2, HT1, TH2} �̰� �� ������ ��� �ո����� ��Ÿ�� ����� D = {HH1, HH2} �� �־�����. ����, ���ϴ� ���Ǻ� Ȯ����
�� �־����� �� �� �ִ�. ? ���Ǻ� Ȯ���� ���� �Ϲ�������, Ȯ���� ���� ���������� ���� ���� ��ǵ��� �ٷ�� �ǰ� �̵� ��ȣ���� ���踦 �ľ��ϴ� ���� Ȯ���� ��꿡�� �ʿ����� �����̴�. �̷��� �������� ���Ǻ� Ȯ���� �ſ� �����ϰ� ���� �� �ִ�. �������� ���Ǻ� Ȯ���� �⺻�� ������ ���캸�� ���� �̿��� ���� �˾ƺ���� �Ѵ�. ù°��, ���Ǻ� Ȯ���� ���Ƿκ��� P(A��B) = P(A��B). P(B) ( P(B)>0 ) ���� �����ϴ�. �̸� n���� ��ǿ� ���������� �����Ű�� P(A1��A2)=P(A2��A1)P(A1) ( P(A1)>0 ) P(A1��A2��A3)=P(A3��A1��A2)P(A1��A2) (P(A1��A2)>0 ) �������� P(A1��...��An) = P(An��A1��...��An-1)P(A1��...��An-1) ( P(A1��...��An-1)>0 ) ���� �� �� �ִ�. ����, ������ ������ ���� ���ִ�. ���� A. ������ ��� A1,...,An �� ���Ͽ� P(A1��...��An-1)>0 �̸�, P(A1��...��An)=P(A1)P(A2��A1)P(A3��A1��A2) ...P(An��A1��...��An-1) ����� ������ �Ϲ������� ��� B�� �־��� ��쿡 ��� A�� ���Ǻ� Ȯ�� (A��B)�� A�� Ȯ�� P(A)�� ���� �ʴ�. ��, ��� B�� ���� ���ο� ���� ������ ��� A�� ���� ���ɼ��� ��ȭ�� �ִ� ���̴�. ����, Ư���� ���μ� P(A��B) = P(A) �̸� B�� ���� ���ο� ���� ������ ��� A�� ���� ���ɼ��� �ƹ��� ������ ��ġ�� �ʴ´ٴ� ���̴�. �̷��� �ǹ̿��� P(A��B) = P(A) , �� P(A��B) = P(A) P(B) (**) �� ��, ��� A�� B�� ���� ����(mutuallyindependent)�̶� �Ѵ�. �� (**)������ P(B) = 0 �� ��쵵 ���ԵǾ� ������, ��� A�� B�� ��Ī���� ������ �ϰ� ������ ������ �ʿ䰡 �ִ�. ���� 5. �� ���� ���� ���� �ֻ��� �� ���� ���� ��, �� �� �ֻ����� ���� Ȧ���� ����� A, ���� �� �ֻ����� ���� ¦���� ����� B, �� �ֻ����� ���� ���� Ȧ���� ����� C�� ����. �� ��, ǥ�������� ����� ���� 36 �̰�, ��� A�� ����� ���� 3 x 6 = 18 , ��� B�� ����� ���� 6 x 3 = 18 , ��� C�� ����� ���� 2 x 2 x 3 = 18 �̹Ƿ�, P(A)P(B)P(C) = 18/36 = 1/2 �̴�. ���� , A��B = B��C = C��A �̰� A��B �� ����� ���� 3 x 3 = 9 �̹Ƿ�, P(A��B) = P(B��C) = P(C��A) = 9/36 = 1/4 �̴�. ����, P(A��B) = P(A)P(B) P(B��C) = P(B)P(C) P(C��A)= P(C)P(A) �� �����ϹǷ�, A�� B, B�� C, C�� A�� ���� �����̴�. ? ���� �� ����� �������� ������ �� ����� ���� �Ϲ�ȭ�ϴ� �Ϳ� ���Ͽ� ������ ����. ���� 5 ������ ���� P(A��B) = P(A)P(B) P(B��C) = P(B)P(C) P(C��A)= P(C)P(A) �� �����ϸ�, �� ��� A, B, C �߿��� ������ �� ����� �������� ���ϹǷ� �� ��� A, B, C�� ������ ����(pairwise independent) �̶� �Ѵ�. ����, ���� 5���� A ��B �� C �̹Ƿ�,
�̰�, �̴� P(C) = 1/2 �� ���� ������ �� �� �ִ�. ��, A, B, C�� ������ ����������, A�� B�� ���� ���ο� ���� ������ ��ø�Ǹ� C�� ���� ���ɼ��� ������ ��ġ�� ���̴�. ���Ƿ�, �̷��� ��쿡�� �� ��� A, B, C�� ������ �ǹ̷� "����"�̶�� �� ���� ���� ���̴�. ����, �̷��� ��츦 �����ϱ� ���Ͽ� �� ��� A, B, C�� ���Ͽ� P(A��B) = P(A)P(B) P(B��C) = P(B)P(C) P(C��A)= P(C)P(A) P(A��B��C) = P(A)P(B)P(C) (3) �� ������ ��, �� ��� A, B, C�� ���� ����(mutually independent)�̶� �Ѵ�. ���� 5������ P(A��B��C) = P(A��B) �� P(A)P(B)P(C) �̹Ƿ�, �� ��� A, B, C �� ������ ���������� ���� ������ �ƴϴ�. ���� ������ �� ��ǿ� ���Ͽ��� ���� 5�� ���� ��찡 �Ͼ�� ������ ���� �����κ��� �� �� �ִ�. ���� B. �� A, B, C�� ���� �����̸� A, B�� ���� �����̴�. �� A, B, C�� ���� �����̸� A�� ���� �����̴�. �� A, B, C�� ���� �����̸� A�� ���� �����̴�. ���� .A��B��Cc = A��B - A��B��C �̰� A��B��C��A��B �̹Ƿ�, P(A��B��Cc) = P(A��B) - P(A��B��C) �̴�. ����, A, B, C�� ���� �����̸� �� (3)���κ��� P(A��B��Cc) = P(A��B) - P(A��B��C) P(A)P(B) - P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(Cc) �̴�. ���� �������, P(Bc��C) = P(Bc)P(C) , P(C��Ac)= P(C)P(Ac) P(A��B) = P(A)P(B) �� �������� ���� �� �ִ�. ���Ƿ� �Ͱ� �����Ѵ�. ���� P(A��(B��C)) = P((A��B)��(A��C)) = P(A��B) + P(A��C) - P(A��B��C) �� �����ϹǷ�, A, B, C�� ���� �����ϸ� ��(3)���κ��� P(A��(B��C)) = P(A��B) + P(A��C) P(A��B��C)=P(A)P(B)+ P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C) = P(A)P(B) + P(C) - P(B��C) = P(A)P(B��C) �� �����Ѵ�. ��, �ΰ� �����Ѵ�. ����������, A, B, C�� ���� �����̸� �� (3)���κ��� P(A��(B��C)) = P(A��B��C) = P(A)P(A)P(C) = P(A)P(B��C) ���� �� �� �ְ� �Ǿ�, �ϰ� �����Ѵ�. ? ���� B1�κ���, �� ��� A, B, C�� ���� �����̸� �̵� �߿��� ������ �� ������� ǥ���� �� �ִ� ����� ������ �� ��ǰ� ���� �������� �� �� �ִ�. �Ϲ�������, n���� ��� A1, A2, ... ,An�� �ִ� ��쿡�� ������ �� ���Ͽ�
�� �����ϸ� ����� ���� ����(mutually independent)�̶� �Ѵ�. �� ������ 1 �� I < j < k < ... �� n �� ���Ͽ� P(AI��Aj) = P(AI)P(Aj) P(AI��Aj��Ak) = P(AI)P(Aj)P(Ak) ���������� P(AI��Aj�� ... ��An) = P(AI)P(Aj)P...(An) �� ������ ��, ����� ���� �����̶� �Ѵ�. �̿� ���� n���� ����� �������� �����ϸ� ���� B�� ���� ������� ������ �������� ���� �� �ִ�. ���� C.
|