주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

          ���Ǻ� Ȯ���� ��밪

    Ȯ���� � �õ����� �Ͼ ���� ���ϴ� ���� �ƴ϶�

���� �ð��� �ΰ� ���� �Ǵ� ����� �ǹ̸� ���´ٰ� ���� ��

�ִ�.

    ���� � ���ӿ��� n���� ���

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� ���� �� �ְ�, ������ ���

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� �Ͼ Ȯ����

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

������ ���   

                                                    

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� ���� ���� (��� �Ǵ� ���� ��)��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

���ϸ�, �� ������ �� �� ����� �� �ִ����ݾ� E��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

���� ����Ѵ�.    �̰��� �� E��  �츮�� ��

��������밪 (expectation of the game ) �̶�� �Ѵ�.

    ���� 1.10,000 ���� � TV ��ǰ��ȸ�� ����������

    ���� �Ͽ���.

    �� ��, TV ��ǰ��ȸ�� ��÷�ڴ� 1 ���̰�, ��ǰ���δ�

    20 ���� ����� TV�� �شٰ� �ϸ�, ���� ����� �� �ִ�

    ��밪�� ���ΰ� �˾ƺ��ÿ�. (��, ���������� ����

    200���̶�� ����.)

Ǯ��.    ���� ��÷�� Ȯ����

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�̰�, ����� 200,000 ��, �� ���� ��÷�ȵ� Ȯ����

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�̰�, �����  200�� �̹Ƿ�, ��밪 E��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

����, ��밪�� �����̹Ƿ� ���ڿ��� ���ذ� ����Ǵ� �����̶�� �� ��

�ִ�.     ?

������  The Gane of Mastermind��� �Ҹ��� �����̴�.

    ���� 2. ���� �ٸ� ���� ĥ�Ͽ��� ���� 7 �� �߿��� 6

    ���� ��� 6 ���� hole�� ���� �� ���� �ȾҴ�. �� ��,

    ���븦 ��� ���� �� �ٽ� ���� 7 �� �߿��� 6 ����

    ���븦 ���Ƿ� ��� �ٽ� hole�� ���� ��, ó����

    ���� ���� ���� ��� ���� hole�� ��� ������

    ���ΰ� �˾ƺ��ÿ�.

Ǯ��.i = 0, ..., 6 �� ���Ͽ� ���

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� ���� ( 6 - i ) ���� ��ġ�ϴ� ����̶�� �ϸ�, ������ i ��

���Ͽ�

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

���� ��찡 �����ϴ�. ( �̰��� i ���� Ʋ����match�Ǵ� ����� ���� �ǹ�

�Ѵ�.) �׷��� ������ (6-i)���� ��ġ�ϹǷ� (��, �� �����̹Ƿ�) ���� ��ġ

�ϴ� hole�� ������ ��밪 E ��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

 �� �� ������ �ذ���  ������ ���� ������ ���� ����� �ִ�.

�� ���� hole�� ������ �θ�, ó���� ���� ���� ������ ��ġ�� Ȯ����

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�̰�, ��ġ���� ���� Ȯ����

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�̴�.    ���� ��밪��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�׷��� ��� 6 ���� hole�� �����Ƿ� ��ü�� ����� �� �ִ� hole ��

��밪��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�̴�.    ?

���� Ǯ�̸� ����, � �ǹ̿����� Ȯ������ ��밪�� �� ����

�������� �ǹ̸� ���´ٰ� �ؼ��� �� �ִ�.

    ���� 1. ���� �� �� ����� �ִ�. ���� 6���� ������ ����

    �ְ�,���� 5���� ������ ���� �ִ�.

    �� ��, �� ����� ������ ��� ������ ��, ���� ����

    ������ �ո��� ���� ���� ���� ������ �ո��� ������ ��

    ���� Ȯ���� ���Ͻÿ�.

    ���� 2. (The St. Petersburg Paradox) �� ��� A,

    B�� ������ ���� �ո��� ������ �̱�� ������ �Ѵ�.

    �� ��, n ��° toss���� �ո��� ������A�� B���� 2n

    ������ �ֱ�� �Ѵ�.

    �׷��� B�� A���� �󸶸� �����Ͽ��� �� ������ ������

    ���� �����Ͽ� ���ÿ�.

    (������

                 

    주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

    �� ���ҵǴ� ����� �Ͼ Ȯ��������

                  2-1, 2-2, 2-3��

    �̹Ƿ�, B�� ����� �� �ִ� ������ �����ϴٰ� �� ��

    �ִ�.  ��,

    주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

    ����, �̰��� B�� A���� ���Ѵ��� �ݾ�(?)�� ����

    �Ͽ��� �� ������ �����ϴٴ� �ǹ��ΰ��� �����Ͽ�

    ���ÿ�.)

    ���� ���Ǻ�Ȯ���� ���Ͽ� �˾ƺ����� �սô�.

   �� ������ ���Ի� n�� �߿��� ���ڰ�nB ��, ���ڰ�(n-nB)�� �ְ�,

���Ի� �߿��� �Ȱ��� �� ����� nA�� �ִٰ� ����.

�� ������ ���Ի� �߿��� �� ����  ���Ƿ� ���� ��, �Ȱ��� �� ����� ����

����� A, ���ڰ� ���� ����� B �� �ϸ� �� ���迡�� A�� B�� Ȯ����

����

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가
  (1)

�� �־�����.

����, ���Ի� �߿��� �����̸� �Ȱ��� �� ����� ���ڸ�

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� ��Ÿ����, �̿� ���� ���迡�� �����̸�, �Ȱ��� �� ����� ���� ���

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� �Ͼ Ȯ����

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가
        (2)

�� �־�����.

 ���� ���Ի� ���� �Ϻ��� ���� ���Ի� �߿��� �� ���� �����ϰ� ���ϴ�

��츦 ������ ����.

�� ������ �Ȱ��� �� ����� ���� ��� A��  "Ȯ��"��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

���� �����ϴ�.

��, �� ��쿡�� ���� ��� ��ü�� ������ B�� ���ѵ����ν� ��� A��

"Ȯ��" �� �� (1)�� �޸� �־�����.  ����, �� ��쿡�� ���� ��� ��ü��

������ B�� �� Ȯ���� �ϱ� ���Ͽ� ��� A�� "Ȯ��"��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

��� ���ο� ��ȣ�� ��Ÿ����, �̸�"��� B�� �־��� ��쿡 ���

A�� Ȯ��"�̶� �θ���. ��, �̿� ���� B�� ������ �ϴ� ���迡�� ��� A��

Ȯ���� ������ ���� �־�����.

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가
  (3)

 �� �����Ѵ�.

 �̻󿡼� �˾ƺ� �ٿ� ����, �־��� ǥ������ S�� �Ϻ���

�� ��� B�� ������ �ϴ����Ǻ� ������ ������ �� �ִ�.

�� �� ������ �� �ִ� Ȯ���� ������ �Ϲ����� ���� ������,

���� ��� B�� ������ �ϴ� ���� �ٸ� ���̴�.

   �Ϲ�������, ��� B�� �־��� ���, ��� A��   

���Ǻ� Ȯ�� (conditional probability)��

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가
    

�� �����Ѵ�.

    �̿� ���� ���ǵ� ���Ǻ� Ȯ���� ������ �������κ��� ��� B��

���ο� ǥ���������� ��ҽ�Ų ���迡���� Ȯ���� ���Ѵ�.Ư��, ������

������ ��Ȯ�� ������ ��쿡�� �� (3) �� ����  ���Ǻ� Ȯ���� ����� ��

�ִ�.

    ���� 3. ���� ���� b ��, �� ���� w��, ���� ���� r�� ���

    �ִ� ���ڿ��� k ���� ���� ���ÿ� �����Ѵٰ� ����.

    ����, �������� k���� �� �߿��� j ���� ���� ���� ���� ��

    ��, ������ k-j �� �߿���  i ���� �� ���� Ȯ���� ���Ͽ�

    ���ÿ�.

  Ǯ��.  ��������� k���� �� �߿��� j���� ���� ���� ����� B, i���� ��

���� ����� A��� ����. ��� B�� �־��� ��쿡�� ��������� k ���߿���

j ���� ���� ���� ������ (k-j)���� ���� b���� ���� ���� w���� �� ����

��� �ִ� ���ڿ��� ���� ���� �ϴ� ������ ������ �� �ִ�. ����, ���ϴ�

Ȯ����

            

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� �־�����. ������, ���ǿ� ���� ���Ǻ� Ȯ�� P(A|B) �� ���Ͽ� ����

�̿� ���� ���� ���� �� �ִ�.

  ������ ���� ���Ǻ� Ȯ���� ������ �� ������ ������ ���, ��

ǥ�������� ǥ���� �����ؾ� �ϴ� ��츦 �����ش�.

���� 4. ���� �� ���� ������ �� ����� ���� �������� ���ϰ�,

�� ���� �߿��� �ϳ��� �ո����� �˾��� ��, �ٸ� �ϳ���

������ �ո����� ��Ÿ���� ���Ǻ� Ȯ���� ���Ͽ� ����.

   ������ �ո�� �޸��� ���� H,T�� ��Ÿ���� �� ��쿡

ǥ������

               �� = {HH, HT, TH, TT}

�� ��Ÿ�� �� �ְ�, �� ����� Ȯ���� 1/4�� �־�����. �׸���

�� ���� �߿��� �ϳ��� �ո����� ��Ÿ���� �����

                A = { HH, HT, TH }

�� �־�����, �� ���� ��ΰ� �ո����� ��Ÿ���� �����

                B = { HH }

�� �־�����. ����, ���ϴ� ���Ǻ� Ȯ����

 

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� �־�����.

   ��������, ���� �� ���� ������ �� ����� ��� ��������

���ϰ� �� ���� �߿��� �ϳ����� �� �� �ִٰ� ����. �� ��,

������ ������ �ո����� ��Ÿ���� �� �ٸ� �ϳ��� ������

�ո��� Ȯ���� ���Ͽ� ����.

�� ��쿡�� ��� ������ ���õǾ� ���� �Ǵ� �������� ��Ȯ��

�Ͽ� ǥ�������� ������ �ʿ䰡 �ִ�.

�����Ǵ� ������ ù ��°�� ���� �� ��°�� ��츦 ���� 1,2

�� ��Ÿ����, ǥ��������

(*)

��= {HH1, HH2, HT1, HT2, TH1, TH2, TT1, TT2}                                          

�� ��Ÿ�� �� �ִ�. ���⿡�� HT1�� ������ ��Ÿ��

����� HT �̰� ������ ���� ù ��° ��������

��Ÿ����. ����, ���⿡�� �� ����� Ȯ���� 1/8��

�־�����.

�� (*)�� ���� ǥ�������� ��Ÿ����, ������ ������

�ո��� �����

         C = {HH1, HH2, HT1, TH2}

�̰� �� ������ ��� �ո����� ��Ÿ�� �����

         D = {HH1, HH2}

�� �־�����. ����, ���ϴ� ���Ǻ� Ȯ����

 

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� �־����� �� �� �ִ�.    ?

  ���Ǻ� Ȯ���� ����

  �Ϲ�������, Ȯ���� ���� ���������� ���� ���� ��ǵ���

�ٷ�� �ǰ� �̵� ��ȣ���� ���踦 �ľ��ϴ� ���� Ȯ����

��꿡�� �ʿ����� �����̴�. �̷��� �������� ���Ǻ� Ȯ����

�ſ� �����ϰ� ���� �� �ִ�.

�������� ���Ǻ� Ȯ���� �⺻�� ������ ���캸�� ���� �̿���

���� �˾ƺ���� �Ѵ�.

ù°��, ���Ǻ� Ȯ���� ���Ƿκ���

 P(A��B) = P(A��B). P(B)               ( P(B)>0 )

���� �����ϴ�. �̸� n���� ��ǿ� ���������� �����Ű��

  P(A1��A2)=P(A2��A1)P(A1)         ( P(A1)>0 )

  P(A1��A2��A3)=P(A3��A1��A2)P(A1��A2)  

   (P(A1��A2)>0 )

   ��������

  P(A1��...��An)

   = P(An��A1��...��An-1)P(A1��...��An-1)

          ( P(A1��...��An-1)>0 )

���� �� �� �ִ�. ����, ������ ������ ���� ���ִ�.

���� A.   ������ ��� A1,...,An �� ���Ͽ�

 P(A1��...��An-1)>0 �̸�,

 P(A1��...��An)=P(A1)P(A2��A1)P(A3��A1��A2)

        ...P(An��A1��...��An-1)

       ����� ������

 �Ϲ������� ��� B�� �־��� ��쿡 ��� A�� ���Ǻ�

Ȯ�� (A��B)�� A�� Ȯ�� P(A)�� ���� �ʴ�. ��, ���

B�� ���� ���ο� ���� ������ ��� A�� ����

���ɼ��� ��ȭ�� �ִ� ���̴�.

�׷���, Ư���� ���μ� P(A��B) = P(A) �̸� B��

���� ���ο� ���� ������ ��� A�� ����

���ɼ��� �ƹ��� ������ ��ġ�� �ʴ´ٴ� ���̴�. �̷���

�ǹ̿��� P(A��B) = P(A) , ��

    P(A��B) = P(A) P(B)            (**)

 �� ��, ��� A�� B��

���� ����(mutuallyindependent)�̶� �Ѵ�. ��

(**)������ P(B) = 0 �� ��쵵 ���ԵǾ� ������,

��� A�� B�� ��Ī���� ������ �ϰ� ������ ������

�ʿ䰡 �ִ�.

���� 5.  �� ���� ���� ���� �ֻ��� �� ���� ���� ��,

�� �� �ֻ����� ���� Ȧ���� ����� A, ���� ��

�ֻ����� ���� ¦���� ����� B, �� �ֻ����� ����

���� Ȧ���� ����� C�� ����. �� ��, ǥ��������

����� ���� 36 �̰�, ��� A�� ����� ���� 3 x 6 =

18 , ��� B�� ����� ���� 6 x 3 = 18 , ��� C��

����� ���� 2 x 2 x 3 = 18 �̹Ƿ�,

    P(A)P(B)P(C) = 18/36 = 1/2

�̴�. ���� , A��B = B��C = C��A �̰� A��B ��

����� ���� 3 x 3 = 9 �̹Ƿ�,

    P(A��B) = P(B��C) = P(C��A) = 9/36 = 1/4

�̴�. ����,

    P(A��B) = P(A)P(B)

    P(B��C) = P(B)P(C)

    P(C��A)= P(C)P(A)

�� �����ϹǷ�, A�� B, B�� C, C�� A�� ����

�����̴�.      ?

���� �� ����� �������� ������ �� ����� ����

�Ϲ�ȭ�ϴ� �Ϳ� ���Ͽ� ������ ����. ���� 5 ������

����

    P(A��B) = P(A)P(B)

    P(B��C) = P(B)P(C)

    P(C��A)= P(C)P(A)

�� �����ϸ�, �� ��� A, B, C �߿��� ������ ��

����� �������� ���ϹǷ� �� ��� A, B, C�� ������

����(pairwise independent) �̶� �Ѵ�. ����, ����

5����  A ��B �� C �̹Ƿ�,

 

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

 �̰�, �̴� P(C) = 1/2 �� ���� ������ �� �� �ִ�.

��, A, B, C�� ������ ����������, A�� B�� ����

���ο� ���� ������ ��ø�Ǹ� C�� ���� ���ɼ���

������ ��ġ�� ���̴�. �׷��Ƿ�, �̷��� ��쿡�� ��

��� A, B, C�� ������ �ǹ̷� "����"�̶�� �� ����

���� ���̴�. ����, �̷��� ��츦 �����ϱ� ���Ͽ�

�� ��� A, B, C�� ���Ͽ�

    P(A��B) = P(A)P(B)

    P(B��C) = P(B)P(C)

    P(C��A)= P(C)P(A)

    P(A��B��C) = P(A)P(B)P(C)      (3)

�� ������ ��, �� ��� A, B, C�� ���� ����(mutually

independent)�̶� �Ѵ�.

���� 5������

   P(A��B��C) = P(A��B) �� P(A)P(B)P(C)

�̹Ƿ�, �� ��� A, B, C �� ������ ���������� ����

������ �ƴϴ�. ���� ������ �� ��ǿ� ���Ͽ��� ����

5�� ���� ��찡 �Ͼ�� ������ ���� �����κ��� ��

�� �ִ�.

���� B.

�� A, B, C�� ���� �����̸� A, B�� ���� �����̴�.

�� A, B, C�� ���� �����̸� A�� ���� �����̴�.

�� A, B, C�� ���� �����̸� A�� ���� �����̴�.

���� .A��B��Cc = A��B - A��B��C �̰�

A��B��C��A��B �̹Ƿ�,

     P(A��B��Cc) = P(A��B) - P(A��B��C)

�̴�. ����, A, B, C�� ���� �����̸� �� (3)���κ���

   P(A��B��Cc) = P(A��B) - P(A��B��C)

   P(A)P(B) - P(A)P(B)P(C)    

   P(A)P(B)P(Cc)    

�̴�. ���� �������,

   P(Bc��C) = P(Bc)P(C) , P(C��Ac)= P(C)P(Ac)

   P(A��B) = P(A)P(B)

 �� �������� ���� �� �ִ�. �׷��Ƿ� �Ͱ� �����Ѵ�.

����

 P(A��(B��C)) = P((A��B)��(A��C))

           =  P(A��B) + P(A��C) -  P(A��B��C)

�� �����ϹǷ�, A, B, C�� ���� �����ϸ� ��(3)���κ���

 P(A��(B��C)) =   P(A��B) + P(A��C)  

 P(A��B��C)=P(A)P(B)+ P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C)

                =  P(A)P(B) + P(C) - P(B��C)

                =  P(A)P(B��C)

�� �����Ѵ�. ��, �ΰ� �����Ѵ�. ����������, A, B, C�� ����

�����̸� �� (3)���κ���

      P(A��(B��C)) =  P(A��B��C)

    = P(A)P(A)P(C) = P(A)P(B��C) 

 ���� �� �� �ְ� �Ǿ�, �ϰ� �����Ѵ�.    ? 

���� B1�κ���, �� ��� A, B, C�� ���� �����̸� �̵� �߿���

������ �� ������� ǥ���� �� �ִ� ����� ������ �� ��ǰ�

���� �������� �� �� �ִ�.

�Ϲ�������, n���� ��� A1, A2, ... ,An�� �ִ� ��쿡�� ������   

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가
�� ���Ͽ�

               

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가

�� �����ϸ� ����� ���� ����(mutually independent)�̶�

�Ѵ�. �� ������  1 �� I < j < k < ... �� n �� ���Ͽ�

   P(AI��Aj) = P(AI)P(Aj)

   P(AI��Aj��Ak) = P(AI)P(Aj)P(Ak)

    ����������

   P(AI��Aj�� ... ��An) = P(AI)P(Aj)P...(An)

�� ������ ��, ����� ���� �����̶� �Ѵ�. �̿� ���� n����

����� �������� �����ϸ� ���� B�� ���� ������� ������

�������� ���� �� �ִ�.

���� C.

주사위 세 개를 던져 합이 4가 되는 경우는 몇 가지인가