 암호를 입력하여 집 문을 열고, 암호를 입력하여 이메일을 확인하고 암호를 입력하여 통장 관리를 하고… 4차 산업혁명을 말하는 오늘날 우리는 암호 속에서 살고 있다고 해도 전혀 이상하지 않은데요. 이러한 암호를 좀 더 안전하게 만들어 주는 도구! 바로 소수입니다. 암호 속에 숨겨져 있는 수학적 원리를 영상으로 확인해 볼 건데요. 확인해 보기 전에 몇 가지 질문에 먼저 답해 볼까요? 여러분들이 직접 활동을 해 보았듯이 두 소수를 곱하는 것은 계산이 복잡할 뿐이지 어려운 활동은 아니지만 어떤 수를 두 소수의 곱으로 분해하는 과정은 정해진 풀이 방법이 없기 때문에 쉽지 않습니다. 이러한 성질을 이용해 암호를 만들고 있습니다. 영상을 보면서 확인해 볼까요? [1] 360의 가장 긴 곱셈기차를 찾아볼까요?
(생각이 터지는 수학교과서 ‘수학의 발견’ 중에서) 자연수를 연결하여 곱셈기차를 만들려고 합니다. 360의 곱셈기차는 곱해서 360이 되는 자연수들을 연결한 것입니다. 주어진 [규칙]대로 360의 곱셈기차를 찾아 모두 표시해 보고 곱셈식으로 표현해 볼까요? 처럼요. 여러분들이 찾은 두 수의 곱이 있다면 그것을 이용하여 세 수의 곱으로 표현해 볼 수 있을까요? 왜 그렇게 할 수 있는지 설명해 볼까요? 360의 가장 긴 곱셈기차를 찾아 곱셈식으로 적어보고 이 곱셈기차가 가장 길다고 확신할 수 있는지 없는지 그렇게 생각한 이유를 설명해 볼까요? 패들렛에 접속하여 친구들과 의견을 공유해 봅시다. 친구들과의 의견을 나누면서 혹시, 곱셈기차가 소인수분해와 관계라 있다는 거 눈치채셨나요?\ 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 소수라 하고, 1과 자기 자신 이외의 약수를 갖는 자연수를 합성수라고 합니다. 어떤 자연수의 약수 중 소수인 것을 소인수라 하고, 그 자연수를 소인수만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해한다고 합니다. 같은 수를 여러번 곱한 것을 다음과 같이 거듭제곱으로 나타냅니다. 이때 곱하는 수가 밑, 곱해진 수의 개수가 지수입니다. 어떤 자연수든지 소수의 곱으로 분해할 수 있겠지요? 특히, 역으로 생각해 본다면 소수는 자연수의 곱으로 표현하는 가장 기초가 되는 수랍니다. 그래서 바탕이 되는 수, 소수(素數)라고 부른답니다. 다음 영상을 보면서 곱셈의 입장에서 자연수를 이루는 가장 작은 단위 ‘소수’에 대하여 좀 더 정확하게 알아보고 소인수분해 하는 방법도 확인해 봅시다. [2] 소인수분해에서 어떤 정보를 얻을 수 있을까요?소인수분해를 이용하면 직접 나누거나, 곱하지 않고 어떤 수의 약수와 배수를 쉽게 판단할 수 있습니다. 퀴즈를 통해서 한 번 살펴 볼까요? 이번 시간에 배운 내용을 설문을 통해 확인해 보도록 하겠습니다. [1번] 어떤 자연수의 제곱은 그 자연수를 약수로 갖는 다는 이야기네요. 그럼 소수일까요? 아닐까요? [2번] 친구의 설명이 정확한 용어를 쓴다면 충분히 인정할 수 있는 설명인데요. 그쵸? 여러분들의 용어 사용, 기대합니다. 4차산업혁명의 핵심기술이라 불리는 ‘블록체인’ 속에도 소인수분해의 원리가 있다고요? [수학이야기] 집합의 분할로 자연수 곱 나타내기!집합의 분할을 자연수의 곱으로 나타내기! S(n,k) 손으로 세야 한다고 알고 있는데요, 맞습니다. 노동력이 필요한 문제죠. 그렇지만! 손으로 세는 것도 똑똑하게 세야 합니다! 사실 수능에 나오거나 내신에 나올 가능성은 떨어지지만 집합의 분할을 이해하기 위해서 오히려 더 복잡한 문제를 만들어 보았어요! 그럼 아래와 같이 묘하게 확장된 문제를 어떻게 풀 수 있을까요? 한번 생각해보세요~! $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 $을 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있는 방법의 수는? 해당 방법의 수는 집합 {2,3,5,7,11,13}을 두 개의 집합으로 나누는 경우의 수와 같습니다. 즉 S(6,2)와 같으므로 $\frac{2^6-2}{2}$ 입니다. 아, 2개씩 분할하는 경우의 수는 공식이 있어요. A,B 두 집합을 가정하고 6개의 각 원소가 A,B 어느 집합에 들어갈래? 해서 세면 $2^6$ 나옵니다. 그 상황에서 두개의 집합에 빠짐없이 들어갔기 때문에 우리는 A,B 를 떼고 분할하는 경우의 수만 세어줘야해요. 그럼 $2^6$에는 정확히 2개씩 같은 쌍이 포함되게 됩니다. A,B 조합, B,A 조합 같은 경우의 수가 그 케이스죠. 그래서 나누기 2를 하면 됩니다. 공식 $S(n,2) = \frac{2^n-2}{2}$ 그럼 조금 확장시켜 볼게요. $2^2\times 3 \times 5
\times 7 \times 11 \times 13 $ 을 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있는 방법의 수는? 하아.. 이건 좀,, 위와 같은 경우의 수로 풀 수가 없을 것 같아요. 그럼 어떻게? 경우를 쪼개면 되요. 단, MECE하게~ (MECE는 빠짐없이 중복없이 고객층을 나눈다는 의미의 경영학 용어입니다. 대학가면 많이 쓰게 될거에요. Mutually Exclusive Collectively Exhaustive) 봅시다. 이게 두 자연수의 곱이니까 두가지 경우로 쪼개볼게요 case 1. $2^2$이 붙어 다닐 때 case 2. $2^2 , 2$ 가 떨어져 다닐 때 case 1. 은 다음 경우의 수와 동일한 경우의 수겠죠? 집합 {$2^2$,3,5,7,11,13} 을 두 개의 집합으로 분할하는 경우의 수 S(6,2) case 2. 는 다음 경우의 수와 동일할 겁니다. 집합 {2,3,5,7,11,13}을 두 개의 집합으로 분할하는 경우의 수 S(6,2) 왜냐면 두 개로 분할하면 2가 있는 집합이 있고 2가 없는 집합이 있어요. 2가 떨어져 다녀야 한다는 가정이 있으므로, 남은 2는 2가 없는 집합으로 자동으로 들어가게 됩니다. case1. case2 이외의 경우는 존재하지 않고 case1,case2 는 중복도 없네요. 따라서 정답은 $S(6,2)+S(6,2)=\frac{2^6-2}{2}+\frac{2^6-2}{2} = 2^6-2$ 확실한 이해를 위해서 조금만 더 꼬아봅시다! 이게 다~~~ 여러분들을 위한 거니까 조금만 힘내 봅시다~! $2^3 \times 3 \times 5
\times 7 \times 11 \times 13 $을 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있는 방법의 수는? 하아.. 2가 3개나 되었죠. 그럼 어떻게 할까요? 캐이스를 나눠볼게요 case1.$2^3$ 이 뭉쳐다니는 경우 case2. $2^2,2$ 떨어져 다니는 경우 두 자연수의 곱으로 나타내야 하니 2,2,2 따로 다니는 경우는 발생하지 않겠죠? 그럼 봅시다. case1. 이랑 같은 경우의 수는 {$2^3$,3,5,7,11,13}을 두 집합으로 나누는 분할의 수 와 같아요. 그럼 $\frac{2^6-2}{2}$ 가 되겠군요 case2. {$2^2$,3,5,7,11,13} 는 을 두 집합으로 나누는 분할의 수 S(6,2)와 또 같아요. 왜냐면 두 개의 집합으로 나뉘고 하나의 집합에는 무조건 $2^2$이 들어가 있으므로 나머지 집합에 2가 들어가야 되거든요. 그럼 똑같은 $\frac{2^6-2}{2}$이 되겠네요. 그래서 case1. case2를 모두 더한 경우의 수는 $\frac{2^6-2}{2}+\frac{2^6-2}{2}=2^6-2$이 되겠죠. 항상 이런식으로 나올까요? 아닙니다. 두 개의 자연수로 나뉘는 경우의 수만 공식이 존재하구요 세 개 이상 부터는 점점 복잡해져요. 그래서 집합의 분할은 일반항이 없기 때문에 문제를 복잡하게 못냅니다. 차라리 노가다로 하나 둘 씩 세는게 낫죠. 그럼 이렇게 문제를 한번 내볼게요. $2^3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13$ 을 세 자연수의 곱으로 나타낼 수 있는 방법의 수는? 이건 case를 세가지로 나눌 수 있습니다. case1. $2^3$이 뭉쳐 다닐 때 case2. $2^2,2$ 이렇게 다닐 때 case3. $2,2,2$ 다닐 때 세가지 케이스 모두 빠짐없고 중복없죠? MECE하죠? 그럼 세가지 케이스 각각을 구해봅시다. case1. 과 같은 경우의 수는 {$2^3$,3,5,7,11,13}을 세 개의 집합으로 분할하는 경우의 수와 같아요 S(6,3)입니다. 세 개의 집합부터는 공식이 없어요. 건건히 세야 합니다. 6개의 집합을 3개로 나눌 수 있는 원소의 개수부터 세볼게요. 4,1,1 3,2,1 2,2,2 MAX 원소의 개수를 기준으로 세면 빠짐없이 셀 수 있어요. 그럼 볼게요 6개의 원소를 4,1,1 로 분할하는 방법의 수는 $\frac{_6C_4 \times _2C_1 \times _2C_1}{2!}$ 3,2,1 로 분할하는 방법의 수는 $\frac{_6C_3 \times _3C_2 \times _1C_1}{1!}$ 2,2,2 로 분할하는 방법의 수는 $\frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!}$ 자세한 계산은 생략할게요. 이거 다 더하면 S(6,3) 구할 수 있습니다. 혹시 원소 분배의 경우의 수가 이해가 안된다면 샘토링에 “경우의 수 분할 분배” 라고 쳐보세요. 원포인트 레슨이 있을겁니다. 사족이 길었구요, 이제 집합의 분할 계산은 생략하고 원래 문제에 집중 해 보겠습니다. case2를 구해볼게요 case2 는 집합 을 일단 세 개의 집합으로 나누는 경우의 수를 구하구요, 남은 2의 위치를 이 없는 나머지 두 개의 집합 중 어느 집합에 넣느냐로 구분되네요. 그럼 이렇게 할 수 있겠죠. $S(6,3) \times 2$ 곱하기 2 의 의미가 잘 이해가 되어야 합니다. 그리고 마지막 2,2,2 가 따로 돌아다니는 경우의 수를 해볼게요. 이 case3 의 경우의 수는 다음과 같이 정리할 수 있어요. {3,5,7,11,13}을 세 개의 집합으로 분할하는 경우의 수 S(5,3) 왜냐, 세 개의 집합으로 분할 하고 2를 각각에 집어넣으면 되니깐요. 따라서 case1,case2,case3을 모두 더한 S(6,3) + 2S(6,3) + S(5,3) 이게 정답이 됩니다! 긴글 읽느라 수고 많았습니다!! 집합의 분할은 S(n,2)빼고는 공식이 없어요. 그리고 자연수의 곱으로 이루어진 것도 모두 소수로 이루어지지 않으면 이렇게 케이스 잡아서 풀어야 합니다. 기본서에 안나와 있는 내용이라 한번 다뤄봤습니다!! 수학 지식을 쌓는데 조금이라도 도움이 되었기를!! 샘토링 정재훈 선생님. |
세 수의 곱으로 나타내는 방법
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